Все логи у меня лежат по разным файлам: error, warning, notice
Как можно было бы сделать, чтобы астер клал их не в файлы, а в БД MYSQL? Или это задача демона syslog-ng?

asterisk-*/main/logger.c
Тут все ответы.

Я так думаю что это задача syslog-ng, в logger.c ответа на этот вопрос нет. Ответ по syslog здесь - http://chaos.untouchable.net/index.php/HOWTO_setup_syslog-ng_to_log_to_mysql

вообще можно вместо логфайла сделать именованный канал и из канала уже разбирать по полям как надо и пихать в базу.